czworościan a kula, pytanie....

[anetka10]

Promień kuli wpisanej w czworościan foremny jest równy 1/4 jego wysokości...

Skad to się bierze?

[anka]

Kiedyś to przerabiałam.
Wysokości w czworościanie foremnym dzielą się w stosunku 3:1 (licząc od wierzchołka czworościanu)

2cqy1dc.png (29.62 KiB) Przejrzano 9865 razy

\(|SD|=h= \frac{a \sqrt{3} }{2}\\
|FD|= \frac{1}{3} h= \frac{a \sqrt{3} }{6}\\
|SF|= \frac{2}{3} h= \frac{2a \sqrt{3} }{6} \\
|SO|= \frac{a \sqrt{6} }{3}\)
Z trójkąta ODS
\(sin\beta= \frac{|SO|}{|SD|}= \frac{\frac{a \sqrt{6} }{3}}{\frac{a \sqrt{3} }{2}}= \frac{2 \sqrt{2} }{3}\)
Z trójkąta EFS
\(cos\alpha= \frac{|SF|}{|SE|} \Rightarrow |SE|= \frac{|SF|}{cos\alpha}\\
cos\alpha=cos(90^o-\beta)=sin\beta=\frac{2 \sqrt{2} }{3}\\
|SE|= \frac{\frac{2a \sqrt{3} }{6} }{\frac{2 \sqrt{2} }{3}}=\frac{a \sqrt{6} }{4}\)

\(|EO|=|SO|-|SE|\\
|EO|=\frac{a \sqrt{6} }{3}-\frac{a \sqrt{6} }{4}= \frac{a \sqrt{6} }{12}\)

\(\frac{|EO|}{|SE|}= \frac{\frac{a \sqrt{6} }{12}}{\frac{a \sqrt{6} }{4}}= \frac{1}{3}\)

[anetka10]

mozesz jeszcze mi napisac skad znamy długość SO??

[anka]

Stąd:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Czworościan_foremny

[anetka10]

Dalej nie wiem

[anka]

\(h=a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt6}{3}\)
Zrzeszą można to sobie samemu wyprowadzić.

[anetka10]

a dzieki wszystko jasne...

patrzylam na rysunku zamiast na punkt O to C

dzieki

[Ukośnik]

Odkopię zadanie trochę: dlaczego |FD| to 1\3 wysokości?