Geometria -romby, trapezy

[aneta korbal]

zad.1
Kąt ostry rombu ma miarę 60, a długość promienia okręgu wpisanego w ten romb wynosi 2 \sqrt{3}. Oblicz długość przekątnych rombu, dł odcinków na jakie punkt stycznosci okręgu z rombem dzieli bok tego rombu.
Zad.2
Na okręgu opisano trapez, którego obwód wynosi 52 cm. Obliczdługość odcinka łączącego środki ramion tego trapezu.
zad.3
W trapez rownoramienny wpisano okrąg o promieniu 4 cm.Ramię trapezu ma dł. 10 cm.punkty styczności okręgu z ramionami trapezu dzielą obwód trapezu na dwie części. Oblicz stosunek tych części.
zad.4
W dany trapez można wpisać okrąg i na danym trapezie można opisać okrąg. Wysokość tego trapezu poprowazona z wierzchołka przy krótszej podstawie dzieli dłuższą podstawę na 2 odcinki.Dłuższy odcinek ma 10cm, oblicz obwód trapezu.
zad. 5
W trapezie równoramiennym podstawy mają dl.25 cm i 7 cm, a przekątna 20 cm.Oblicz odległości punktu przecięcia przekatnych obu podstaw.
zad.6
w trapezie równoramiennym wysokość ma 16 cm, a przekątne są do siebie prostopadłe, a ich punkt wspólny dzieli każdą z nich na 2 odcinki, których stosunek wynosi 3 do 5.Oblicz obwód tego trapezu.
zad. 7
Obwód trapezu jest równy 30 cm, odcinek lączący środki przekątnych ma dł. 1,5 cm.Wiedząc ,że w ten trapez można wpisac okrąg oblicz;dł. podstaw trapezu, dl. średnicy okręgu wpisanego wten trapez i dł. odcinka łączącego punkty styczności ramion z okręgiem.
Muszę poprawić jedynkę ze spr. dlatego proszę o pomoc!!!

[irena]

1.
Jeśli kąt ostry rombu ma miarę \(60^0\), to krótsza przekątna dzieli romb na dwa równoboczne trójkąty. Krótsza przekątna jest równa długości boku rombu, a dłuższa ma długość 2 razy dłuższą niż wysokość takiego trójkąta równobocznego.
Wysokość rombu jest równa wysokości takiego trójkąta.

wysokość rombu, h jest równa średnicy okręgu wpisanego w romb.

\(h=2\cdot2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)
a- bok rombu
\(\frac{a\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\\a=8\)

p- krótsza, q- dłuższa przekątna rombu

\(p=a\\p=8\\q=2h\\q=8\sqrt{3}\)

Poprowadź wysokości rombu przez środek okręgu wpisanego (punkt przecięcia przekątnych rombu). Końce tych wysokości to punkty styczności.
Romb nazwałam ABCD, gdzie kąt DAB to kąt ostry. Środek okręgu nazwałam O.
Wysokości rombu to KL i MN, gdzie K leży na AB, L leży na CD, M leży na AD, N leży na BC.
Oznaczyłam |AK|=x, |OK| to długość promienia okręgu.
Ponieważ przekątne dzielą kąty rombu na połowy, więc w trójkącie AKO \(| \angle OAK|=30^0\)

\(\frac{x}{2\sqrt{3}}=ctg30^0\\\frac{x}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}\\x=6\)
\(|AK|=6\\|KB|=|AB|-|AK|\\|AK|=6\\|KB|=8-6=2\)

[irena]

2.
Trapez jest opisany na okręgu, więc suma jego podstaw jest równa sumie ramion.
Suma podstaw trapezu jest więc równa połowie jego obwodu.
a, b- podstawy trapezu
\(a+b=\frac{1}{2}\cdot52=26cm\)

m- odcinek łączący środki ramion trapezu
\(m=\frac{a+b}{2}\\m=\frac{26}{2}=13cm\)

[irena]

3.
Trapez nazwałam ABCD, gdzie AB to dłuższa, CD - krótsza podstawa.
a- krótsza podstawa, b- dłuższa podstawa, c- ramię trapezu
Wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu, więc h=8cm. Wysokość opuściłam z końca krótszej podstawy. Wysokość ta podzieliła dłuższą podstawę na 2 odcinki. Krótszy oznaczyłam k.
\(x^2+h^2=c^2\\x^2+8^2=10^2\\k^2+64=100\\k^2=36\\k=6cm\)

\(b=a+2k\\b=a+12\)
Suma ramion jest równa sumie podstaw.
\(a+b=2c\\a+b=20\\a+a+12=20\\2a=8\\a=4cm\)

K, L- punkty styczności okręgu z ramionami, O- punkt styczności okręgu z krótszą podstawą (środek krótszej podstawy).
Z równości odcinków stycznych:
\(|OC|=|CL|\\|OC|=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\cdot4=2\\|OC|=|CL|=|DK|=2\)

Obwód trapezu:
\(Ob=2\cdot(a+b)=2\cdot20=40cm\)

\(O_1=|KD|+|CD|+|CL|\\O_1=2+4+2=8cm\\O_2=40-8=32cm\)

\(\frac{O_1}{O_2}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}\)

[irena]

4.
Jeśli trapez można wpisać w okrąg, to musi to być trapez równoramienny.
Jeśli w trapez okrąg można wpisać, to suma podstaw jest równa sumie ramion.
a- dłuższa podstawa
b- krótsza podstawa
x- krótszy odcinek na podstawie AB odcięty opisaną wysokością

Czyli:
\(a=10+x\\b=10-x\\a+b=10+x+10-x=20cm

2c=a+b=20cm\)

Obwód:
\(Ob=a+b+2c=20+20=40cm\)

[irena]

5.
Opuściłam wysokość z wierzchołka krótszej podstawy. Wysokość ta, h, podzieliła dłuższą podstawę na 2 odcinki. Krótszy z nich nazwałam x. Drugi, dłuższy, ma długość równą 25-x. Krótsza podstawa ma więc długość równą 7+x.
\(25=7+2x\\2x=18\\x=9cm\)
Wysokość trapezu, odcinek (25-x)=25-9=16cm oraz przekątna trapezu tworzą trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:
\(h^2+16^2=20^2\\h^2=400-256\\h^2=144\\h=12cm\)
k- odległość punktu przecięcia przekątnych od krótszej podstawy
l- odległość tego punktu od dłuższej podstawy
k+l=h
Trójkąty, których wierzchołki to końce podstawy i punkt przecięcia przekątnych są trójkątami podobnymi. Podstawy trapezu i odcinki k, l to odpowiadające sobie odcinki w trójkątach podobnych, więc:
\(\frac{k}{l}=\frac{7}{25}\\k=\frac{7}{25}l\\\frac{7}{25}l+l=12\\\frac{32}{25}l=12\\l=9\frac{3}{8}cm=9,375cm\\l=12-9\frac{3}{8}=2\frac{5}{8}cm=2,625cm\)

[irena]

6.
Trapez nazwałam ABCD, gdzie |AB|=b- dłuższa podstawa, |CD|=a- krótsza podstawa

\(\frac{a}{b}=\frac{3}{5}\\a=\frac{3}{5}b\)

Punkt przecięcia przekątnych nazwałam O. Przez punkt O poprowadziłam wysokość trapezu KL, gdzie K leży na AB, L leży na CD.
Trójkąt AOB to równoramienny trójkąt prostokątny
\(|OK|=|AK|=\frac{1}{2}b\\3+5=8\\|OK|=\frac{5}{8}h\\|OK|=\frac{5}{8}\cdot16=10cm\\\frac{1}{2}b=10\\b=20cm\\a=\frac{3}{5}\cdot20=12cm\)

Poprowadziłam wysokość z końca krótszej podstawy. Krótszy odcinek dłuższej podstawy to x.
\(x=\frac{b-a}{2}\\x=\frac{20-12}{2}=4cm\)

c- ramię trapezu
\(c^2=h^2+x^2\\c^2=16^2+4^2\\c^2=256+16=272\\c=4\sqrt{17}cm\)

Obwód:
\(Ob=a+b+2c\\Ob=12+20+2\cdot4\sqrt{17}=32+8\sqrt{17}=8(4+\sqrt{17})cm\)

[irena]

7.
Nazwałam trapez ABCD, gdzie |AB|=a- dłuższa podstawa, |CD|=b- krótsza podstawa
Punkt przecięcia przekątnych- punkt O
K- środek przekątnej AC, L- środek przekątnej BD
|KL|=1,5cm
|AK|=p (połowa długości przekątnej AC)
|KO|=x
|OC|=p-x
|BC|=c, |AD|=d
\(Ob=a+b+c+d\)
w trapez można wpisać okrąg, więc suma podstaw jest równa sumie ramion (sumy te to połowa obwodu).
\(a+b=15cm\)

Trójkąty AOB, KOL, COD są podobne.
Z podobieństwa trójkątów KOL i AOB:
\(\frac{x}{1,5}=\frac{x+p}{a}\\xa=1,5x+1,5p\\1,5p=x(a-1,5)\)

Z podobieństwa trójkątów KOL i COD:
\(\frac{x}{1,5}=\frac{p-x}{b}\\xb=1,5p-1,5x\\1,5p=x(b+1,5)\)

\(x(a-1,5)=x(b+1,5)\ /:\ x\\a-1,5=b+1,5\\a=b+3\\b+3+b=15\\2b=12\\b=6cm\\a=6+3=9cm\)