Okrąg opisany na czworokącie

[matematix]

W czworokącie ABCD przekątne są prostopadłe oraz na tym czworokącie można opisać okrąg o środku w punkcie O. Udowodnij, że łamana AOC dzieli czworokąt ABCD na dwie figury o równych polach.

// Przy okazji prosiłbym o wyjaśnienie co to jest łamana

[Crazy Driver]

Rozwiązanie jest mało eleganckie i pewnie można znaleźć lepsze.

Najlepiej zacząć rysunek od okręgu i wybrania dwóch cięciw prostopadłych \(AC\) i \(BD\). Niech \(R\) będzie promieniem okręgu, \(|\angle ACD|=\alpha\), \(|\angle ACB|=\beta\).
Teraz, wykorzystując kąty wpisane oparte na tych samych łukach i prostopadłość przekątnych czworokąta, można wyznaczyć:

\(|\angle ADC|=90^\circ-\alpha+\beta\)

\(|\angle CAD|=90^\circ-\beta\)

\(|\angle BAC|=90^\circ-\alpha\)

\(|\angle ABC|=90^\circ+\alpha-\beta\)

Kąt \(AOC\) jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co \(ABC\), więc \(|\angle AOC|=180^\circ+2\alpha-2\beta\).


Teza mówi, że \(P_{AOCD}=P_{ABCO}\)

\(P_{ACD}+P_{AOC}=P_{ABC}-P_{AOC}\)

\(P_{ACD}+2P_{AOC}=P_{ABC}\)

Okrąg opisany na czworokącie \(ABCD\) jest też okręgiem opisanym na trójkątach \(ACD\) i \(ABC\). Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta w zależności od promienia okręgu opisanego i kątów wewnętrznych.

\(2R^2\sin(90^\circ-\beta)\sin\alpha\sin(90^\circ-\alpha+\beta)+2\cdot\frac12R^2\sin(180^\circ+2\alpha-2\beta)=2R^2\sin(90^\circ-\alpha)\sin\beta\sin(90^\circ+\alpha-\beta)\)

\(2\cos\beta\sin\alpha\cos(\alpha-\beta)+\sin(2\beta-2\alpha)=2\cos\alpha\sin\beta\cos(\beta-\alpha)\)

\(2\cos\beta\sin\alpha\cos(\beta-\alpha)+\sin2(\beta-\alpha)-2\cos\alpha\sin\beta\cos(\beta-\alpha)=0\)

\(\cos\beta\sin\alpha\cos(\beta-\alpha)+\sin(\beta-\alpha)\cos(\beta-\alpha)-\cos\alpha\sin\beta\cos(\beta-\alpha)=0\)

\(\cos(\beta-\alpha)(\cos\beta\sin\alpha+\sin(\beta-\alpha)-\cos\alpha\sin\beta)=0\)

\(\cos(\beta-\alpha)(\cos\beta\sin\alpha+\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)=0\)

\(\cos(\beta-\alpha)\cdot0=0\)

\(0=0\)


// https://www.google.pl/search?q=%C5%82am ... ywP_wIKwAg

[radagast]

Bardzo fajne zadanie gimnazjalne:

ScreenHunter_130.jpg (12.48 KiB) Przejrzano 3931 razy

Wystarczy zauważyć, że pola trójkątów ACO oraz ACM są równe (s to symetralna \(\kre{DB}\)
Pole czworokąta ABCD to \(\frac{|AC| \cdot |DB|}{2}\)
Pole czworokąta AOCD jest takie jak pole czworokąta AMCD, a ono wynosi \(\frac{|AC| \cdot |DM|}{2}\) czyli \(\frac{|AC| \cdot \frac{|DB|}{2} }{2}\)

[Crazy Driver]

Bardzo ładne rozwiązanie. Właśnie czegoś takiego się spodziewałem Cóż, jestem słaby z geometrii.

[matematix]

Czemu symetralna odcinka DB ma przechodzić przez środek okręgu?

I czy pole każdego czworokąta to iloczyn jego przekątnych podzielony przez 2?

[radagast]

Czemu symetralna odcinka DB ma przechodzić przez środek okręgu?

Bo symetralna odcinka to zbiór wszystkich punktów równo odległych od jego końców.

I czy pole każdego czworokąta to iloczyn jego przekątnych podzielony przez 2?

Tylko wówczas gdy przekątne są prostopadłe.