czerwiec matura 2015 nowa cz. II

[Ciapek19872103]

11. W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość
odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu
i przeciwprostokątnej.

10. Rozwiąż równanie \((4sin^2x-1)sinx=cos^2x-3sin^3x, dla x \in (- \pi ,0)\)

9. W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50°, a kąt wewnętrzny przy
wierzchołku C ma miarę 60°. Okrąg o1 przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC
trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg o2 przechodzi przez punkt B, przecina okrąg o1 w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg o2 przecina bok BC trójkąta w punkcie G.

8.Niech \(a = log_{12} 2\). Wykaż, że \(log_664= \frac{6a}{1-a}\)

7.Prosta o równaniu \(y=0,75x- \frac{61}{14}\) jest styczna od okręgu o środku S = ( 1,−4 ). Wyznacz
promień tego okręgu.

[eresh]

7.Prosta o równaniu \(y=0,75x- \frac{61}{14}\) jest styczna od okręgu o środku S = ( 1,−4 ). Wyznacz
promień tego okręgu.

\(y=0,75x-\frac{61}{14}\\
28y=21x-122\\
21x-28y-122=0\\
r=\frac{|21\cdot 1-28\cdot (-4)-122|}{\sqrt{21^2+28^2}}\\
r=\frac{11}{35}\)

[eresh]

8.Niech \(a = log_{12} 2\). Wykaż, że \(log_664= \frac{6a}{1-a}\)

\(a=\log_{12}2=\frac{1}{\log_212}=\frac{1}{\log_26+1}\\
a=\frac{1}{\log_26+1}\\
a\log_26+a=1\\
\log_26=\frac{1-a}{a}\)

\(\log_664=\log_62^6=6\log_62=\frac{6a}{1-a}\)

[eresh]

10. Rozwiąż równanie \((4sin^2x-1)sinx=cos^2x-3sin^3x, dla x \in (- \pi ,0)\)

\((4\sin^2x-1)\sin x=(1-\sin^2x)-3\sin^2x\\
(4\sin^2x-1)\sin x-1+4\sin^2 x=0\\
(4\sin^2x-1)(\sin x+1)=0\\
(2\sin x-1)(2\sin x+1)(\sin x+1)=0\\
\sin x=\frac{1}{2}\;\;\; \vee \;\;\;\sin x=-\frac{1}{2}\;\;\;\vee\;\;\;\sin x=-1\\
x\in\{-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6},-\frac{5\pi}{6}\}\)

[eresh]

11. W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość
odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu
i przeciwprostokątnej.

Bez tytułu.png (7.17 KiB) Przejrzano 7755 razy

\(c=\sqrt{15^2+20^2}=25\\\)

\(r=\frac{15+20-25}{2}=5\\
r=|AF|=|AH|\\
|FB|=|GB|=20-5=15\\
|GC|=25-15=10\\
\cos C=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\\
|HG|^2=15^2+10^2-2\cdot 15\cdot 10\cdot\frac{3}{5}\\
|HG|^2=145\\
|HG|=\sqrt{145}\)

[radagast]

9. W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50°, a kąt wewnętrzny przy
wierzchołku C ma miarę 60°. Okrąg o1 przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC
trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg o2 przechodzi przez punkt B, przecina okrąg o1 w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg o2 przecina bok BC trójkąta w punkcie G.

Co z tym trzeba zrobić ?

[Ciapek19872103]

9. W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50°, a kąt wewnętrzny przy
wierzchołku C ma miarę 60°. Okrąg o1 przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC
trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg o2 przechodzi przez punkt B, przecina okrąg o1 w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg o2 przecina bok BC trójkąta w punkcie G.

Udowodnij, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.

[radagast]

9. W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50°, a kąt wewnętrzny przy
wierzchołku C ma miarę 60°. Okrąg o1 przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC
trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg o2 przechodzi przez punkt B, przecina okrąg o1 w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg o2 przecina bok BC trójkąta w punkcie G.

Udowodnij, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.

ScreenHunter_507.jpg (9.1 KiB) Przejrzano 7723 razy

\(| \angle DFG|=180^ \circ -70^ \circ= 110^ \circ\)
\(| \angle DFE|=180^ \circ -50^ \circ= 130^ \circ\)
zatem
\(| \angle EFG|=360^ \circ -110^ \circ- 130^ \circ=120^ \circ\)
czyli
\(| \angle EFG|+| \angle ECG|=120^ \circ+60^ \circ=180^ \circ\)
No to na czworokącie \(CEFG\) można opisać okrąg.
CBDO
Dodam jeszcze, że to , że te kąty to 50 i 60 nie ma żadnego znaczenia. Mogłyby być dowolnymi innymi kątami trójkąta.

[robbo]

Rozwiązania:
http://www.zadania.info/d1654