Czerwiec 2015 nowa matura

O wszystkim, co jest związane z maturą, linki do zadań, komentarze i inne przemyślenia.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Ciapek19872103
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 08 lut 2015, 15:02
Podziękowania: 30 razy

Czerwiec 2015 nowa matura

Post autor: Ciapek19872103 »

16. Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.


15.Funkcja f jest określona wzorem \(f(x)= \frac{m^2+m-6}{m-5}x^2-(m-2)x+m-5\) dla każdej liczby
rzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje
wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

14. Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przekątna AC tego trapezu ma długość\(8 \sqrt{3}\)
jest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze 30°. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość \(4 \sqrt{5}\) . Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD.

13. Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.

12. Dany jest trójkąt ABC , w którym BC = a . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa \(\frac{2}{3} a\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Czerwiec 2015 nowa matura

Post autor: eresh »

Ciapek19872103 pisze:
15.Funkcja f jest określona wzorem \(f(x)= \frac{m^2+m-6}{m-5}x^2-(m-2)x+m-5\) dla każdej liczby
rzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje
wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.
http://forum.zadania.info/viewtopic.php ... 49#p275349
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Czerwiec 2015 nowa matura

Post autor: eresh »

Ciapek19872103 pisze:16. Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

\(l+r=2\;\So\;l=2-r\\
H^2+r^2=l^2\\
H^2+r^2=(2-r)^2\\
H^2=4-4r\\
r=1-\frac{1}{4}H^2\)


\(V=\frac{1}{3}\pi r^2H\\
V=\frac{1}{3}\pi\cdot (1-0,25H^2)^2\cdot H\\
V=\frac{1}{3}\pi (H-0,5H^3+\frac{1}{16}H^5)\\
V'=\frac{1}{3}\pi (1-1,5H^2+\frac{5}{16}H^4)\\
V'=\frac{\pi}{48}(16-24H^2+5H^4)=\frac{\pi}{48}(H-2)(H+2)(H-\frac{2\sqrt{5}}{5})(H+\frac{2\sqrt{5}}{5})\\
V_{max}=V(\frac{2\sqrt{5}}{5})\\
r=1-\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{5}\\
V=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{16}{25}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Czerwiec 2015 nowa matura

Post autor: radagast »

Ciapek19872103 pisze:
14. Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przekątna AC tego trapezu ma długość\(8 \sqrt{3}\)
jest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze 30°. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość \(4 \sqrt{5}\) . Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD.
Fajne zadanie. Kiedyś je rozwiążę, a na razie tylko podpowiedź: ten spodek wysokości leży w połowie krawędzi AB :).
ef39
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 501
Rejestracja: 15 sie 2012, 21:03
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 275 razy

Re: Czerwiec 2015 nowa matura

Post autor: ef39 »

12. Dany jest trójkąt ABC , w którym BC = a . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa 2/3a
Obrazek

Skoro \(|AD|=|DC|, |BS|=|SD|\) to pola trójkątów \(\Delta ASD= \Delta SCD= \Delta ABS=P\)
Ponadto:
\((P_{ \Delta ASC}= \frac{|AS| \cdot h_1}{2} =2P \qquad P_{ \Delta ABS}= \frac{|AS| \cdot h_2}{2} =P) \So h_1=2h_2\)

\(P_{ \Delta SPC}= \frac{|SP|h_1}{2} \qquad P_{ \Delta SBP}= \frac{|SP|h_2}{2}\)

z tego wynika, że \(P_{ \Delta SPC}=2P_{ \Delta SBP}\)

a ponieważ trójkąty \(\Delta SPC \;\) oraz \(\Delta SBP\) mają wspólną wysokość poprowadzoną z wierzchołka S

to proporcja pól daję proporcję odcinków \(\frac{|CP|}{|PB|}= \frac{2}{1} \So |CP|= \frac{2}{3}a\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

No to ja to zadanie 14.
Sytuacja wygląda tak:
ScreenHunter_515.jpg
ScreenHunter_515.jpg (14.77 KiB) Przejrzano 13232 razy
Najpierw spodek wysokości:
skoro krawędzie boczne mają jednakową długość to wierzchołek leży na płaszczyznach symetrii odcinków BC i AC, a one przecinają podstawę ABCD wzdłuż symetralnych boków trójkąta ABC, a ponieważ jest to trójkąt prostokątny , to symetralne jego boków przecinają się w połowie przeciwprostokątnej i jest to spodek wysokości.

teraz należy policzyć |OQ|:
\(|AS| \cdot |OQ|= |OS| \cdot |AO|\)
\(|AO|=8\)
\(|OS|= \sqrt{(4 \sqrt{5})^2-8^2 }= 4\)
No to
\(|OQ|= \frac{4 \cdot 8}{4 \sqrt{5} } = \frac{8\sqrt{5}}{5}\)
micitanka
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 08 wrz 2015, 23:51

Re: Czerwiec 2015 nowa matura

Post autor: micitanka »

Super dziękuję mogę teraz wyjść z błędu.
Awatar użytkownika
robbo
Administrator
Posty: 235
Rejestracja: 06 mar 2008, 09:32
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 3 razy
Płeć:
Kontakt:

Post autor: robbo »

ODPOWIEDZ