Czerwiec 2015 cz. III

[Ciapek19872103]

2
Funkcja f jest określona wzorem \(f(x)= \frac{x-2}{x}\) dla wszystkich liczb rzeczywistych x takich,
że\(x ≠ 0\) . Rozwiąż nierówność \(||f( \frac{1}{x+1} )|-3| \le 4\)


1.Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie \(x^2+2(m-1)x+m^2+m-1=0\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1,x_2\) takie, że \((x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)<x_1^3+x_2^3\)

[eresh]

2
Funkcja f jest określona wzorem \(f(x)= \frac{x-2}{x}\) dla wszystkich liczb rzeczywistych x takich,
że\(x ≠ 0\) . Rozwiąż nierówność \(||f( \frac{1}{x+1} )|-3| \le 4\)

\(f(x)=1-\frac{2}{x}\\\)
\(f(\frac{1}{x+1})=1-2\cdot(x+1)=-2x-1\)

\(||f(\frac{1}{x+1}|-3|\leq 4\\
||-2x-1|-3|\leq 4\\
-4\leq |-2x-1|-3\leq 4\\
-1\leq |2x+1|\leq 7\\
|2x+1|\leq 7\\
-7\leq 2x+1\leq 7\\
-8\leq 2x\leq 6\\
-4\leq x\leq 3\\
x\in [-4,3]\setminus\{0,-1\}\)

[eresh]

1.Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie \(x^2+2(m-1)x+m^2+m-1=0\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1,x_2\) takie, że \((x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)<x_1^3+x_2^3\)

1.
\(\Delta>0\\
4(m-1)^2-4(m^2+m-1)>0\\
m^2-2m+1-m^2-m+1>0\\
-3m+2>0\\
-3m>-2\\
m<\frac{2}{3}\)

2.
\((x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)<x_1^3+x_2^3\\
(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)<(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)\\
(x_1+x_2) \left[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-((x_1+x_2)^2-3x_1x_2) \right]<0\\
(x_1+x_2) \left[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-(x_1+x_2)^2+3x_1x_2 \right]<0\\
(x_1+x_2)x_1x_2<0\\
-2(m-1)\cdot (m^2+m-1)<0\\
m\in \left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)\cup (1,\infty)\)

bierzemy część wspólną 1 i 2:
\(m\in \left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2},\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)\)

[robbo]

Rozwiązania:
http://www.zadania.info/d1654