Czerwiec 2015 cz. II

[Ciapek19872103]

6.
Prosta l, na której leży punkt A = ( 2,5) , przecina parabolę o równaniu\(y = x^2\) w dwóch
różnych punktach \(B(x_1,y_1)i A(x_2,y_2)\). Oblicz wartość współczynnika kierunkowego
prostej l, przy której suma \(y_1+y_2\) osiągnie wartość najmniejszą.

5.Wykaż, że dla każdej dodatniej i różnej od jedności liczby a i dla każdej dodatniej
i różnej od jedności liczby b spełniona jest równość
\(\frac{1}{log_ab}+ \frac{1}{log_{a^2}b}+.......+ \frac{1}{log_a{10}b}= \frac{55}{log_ab}\)

4, W trapez ABCD wpisano okrąg o środku S. Okrąg ten jest styczny do ramion AD i BC tego
trapezu w punktach odpowiednio P i Q. Uzasadnij, że trójkąt ASD jest prostokątny. Wykaż, że\(|AP||DP|=|BQ||CQ|\) .

3. Rozwiąż równanie \(sin 2x+ \sqrt{3} sin x =0\) w przedziale \(<0, 2π >\)

[eresh]

6.


3. Rozwiąż równanie \(sin 2x+ \sqrt{3} sin x =0\) w przedziale \(<0, 2π >\)

\(\sin 2x+\sqrt{3}\sin x=0\\
2\sin x\cos x+\sqrt{3}\sin x=0\\
\sin x(2\cos x+\sqrt{3})=0\\
\sin x=0\;\; \vee \;\;\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\
x\in\{0,\pi,2\pi,\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\}\)

[Galen]

zad.5
Zastosuj wzór na zmianę podstaw logarytmu.
\(log_ab= \frac{log_bb}{log_ba}= \frac{1}{log_ba}\)
stąd jest:
\(\frac{1}{log_ba}=log_ab\)
Analogicznie jest:
\(\frac{1}{log_{a^2}b}=log_ba^2=2log_ab\\ \frac{1}{log_{a^{10}}b}=log_ba^{10}=10 log_ba\)
Suma ma więc postać:
\(log_ba+2log_ba+3log_ba+...+10log_ba=(1+2=3+...+10)log_ba= \frac{(1+10)\cdot 10}{2} \cdot log_ba=55log_ba= \frac{55}{log_ab}\)

[radagast]

4, W trapez ABCD wpisano okrąg o środku S. Okrąg ten jest styczny do ramion AD i BC tego
trapezu w punktach odpowiednio P i Q. Uzasadnij, że trójkąt ASD jest prostokątny. Wykaż, że\(|AP||DP|=|BQ||CQ|\) .

ScreenHunter_509.jpg (12.18 KiB) Przejrzano 3861 razy

\(2 \alpha +2 \beta = \pi \So \alpha + \beta = \frac{ \pi }{2} \So | \angle ASD|= \frac{ \pi }{2}\)
ponadto:
\(|AP||DP|=r^2\)
oraz
\(|BQ||CQ|=r^2\)
no to istotnie:
\(|AP||DP|=|BQ||CQ|\)
CBDO

[radagast]

6.
Prosta l, na której leży punkt A = ( 2,5) , przecina parabolę o równaniu\(y = x^2\) w dwóch
różnych punktach \(B(x_1,y_1)i A(x_2,y_2)\). Oblicz wartość współczynnika kierunkowego
prostej l, przy której suma \(y_1+y_2\) osiągnie wartość najmniejszą.

To zadanie ma błędną (sprzeczną) treść.
Skoro A=(2,5) to prosta l nie może przecinać paraboli \(y=x^2\) w punkcie A \((5 \neq 2^2)\).
Podejrzewam , że chodzi o nazwę któregoś z punktów A. Popraw.