Matura czerwiec 2015

[Ciapek19872103]

11. Każda z urn oznaczonych liczbami 1, 2, 3 zawiera po 3 kule czarne i 4 białe, a każda urna
oznaczona liczbami 4, 5, 6 zawiera po 3 czarne i 2 białe kule. Rzucamy sześcienną kostką
do gry, a następnie z urny o numerze równym liczbie wyrzuconych oczek losujemy bez
zwracania 2 kule. Co jest bardziej prawdopodobne: wylosowanie dwóch kul czarnych, czy
dwóch kul białych?

10. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których liczba 1 jest jedynym całkowitym
pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=mx^3+x^2+(m^2-9)x+m\)

9. Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 2. Punkt P jest środkiem krawędzi BC.
Płaszczyzna AHP przecina krawędź CG w punkcie R (zobacz rysunek). Oblicz pole przekroju
tego sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez punkty A, H, R i P.


8.Punkt M = (5,6) jest środkiem ramienia BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym
|AC|= |BC|. Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu \(y= \frac{1}{3}x+1\) oraz
A = (-3,0) . Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta.

7. Trzy liczby, których suma jest równa 105, są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu
geometrycznego. Pierwsza z tych liczb jest jednocześnie pierwszym, druga szóstym, a trzecia
dwudziestym szóstym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz te liczby.

[eresh]

7. Trzy liczby, których suma jest równa 105, są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu
geometrycznego. Pierwsza z tych liczb jest jednocześnie pierwszym, druga szóstym, a trzecia
dwudziestym szóstym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz te liczby.

do rozwiązania układ:
\(\begin{cases}a+a+5r+a+25r=105\\
(a+5r)^2=a(a+25r)\end{cases}\)

[eresh]

8.Punkt M = (5,6) jest środkiem ramienia BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym
|AC|= |BC|. Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu \(y= \frac{1}{3}x+1\) oraz
A = (-3,0) . Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta.

Bez tytułu.png (6.53 KiB) Przejrzano 7588 razy

trójkąty BCF i DEB są podobne (kkk)
\(k=\frac{|CF|}{|DE|}=2\\
\frac{|FB|}{|EB|}=2\\
\frac{0,5a}{|EB|}=2\\
|EB|=\frac{1}{4}a\)

prosta DE:
\(y=-3(x-5)+6\\
y=-3x+21\)

\(E=(6,3)\)


\(|EB|=0,25|AB|\\
B=(b,\frac{1}{3}b+1)\\
\sqrt{(b-6)^2+(\frac{1}{3}b+1-3)^2}=0,25\sqrt{(b+3)^2+(\frac{1}{3}b+1)^2}\\
b^2-12b+36+\frac{1}{9}b^2-\frac{4}{3}b+4=\frac{1}{8}(b^2+6b+9+\frac{1}{9}b^2+\frac{2}{3}b+1)\\
\frac{10}{9}b^2-\frac{40}{3}b+40=\frac{5}{36}b^2+\frac{5}{6}b+\frac{5}{4}\\
\frac{35}{36}b^2-\frac{85}{6}b+\frac{155}{4}=0\\
35b^2-510b+1395=0\)
\(b_1=\frac{51-18\sqrt{2}}{7}\;\;\; \vee \;\;\; b_2=\frac{51+18\sqrt{2}}{17}\\
B=(\frac{51+18\sqrt{2}}{7},\frac{24+6\sqrt{2}}{7})\)

[eresh]

10. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których liczba 1 jest jedynym całkowitym
pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=mx^3+x^2+(m^2-9)x+m\)

\(W(1)=0\\
m+1+m^2-9+m=0\\
m^2+2m-8=0\\
m=2\\
m=-4\)

dla \(m=2\)
\(W(x)=2x^3+x^2-5x+2=(x-1)(2x^2+3x-2)=2(x-1)(x+2)(x-0,5)\) - wielomian ma dwa całkowite pierwiastki

dla \(m=-4\)
\(W(x)=-4x^3+x^2+7x-4=(x-1)(-4x^2-3x+4)\) - wielomian ma jeden pierwiastek całkowity

[eresh]

11. Każda z urn oznaczonych liczbami 1, 2, 3 zawiera po 3 kule czarne i 4 białe, a każda urna
oznaczona liczbami 4, 5, 6 zawiera po 3 czarne i 2 białe kule. Rzucamy sześcienną kostką
do gry, a następnie z urny o numerze równym liczbie wyrzuconych oczek losujemy bez
zwracania 2 kule. Co jest bardziej prawdopodobne: wylosowanie dwóch kul czarnych, czy
dwóch kul białych?

\(H_1\) - wyrzucono 1 lub 2 lub 3 oczka
\(H_2\) - wyrzucono 4 lub 6 lub 5 oczek
A - wylosowano dwie czarne kule
B - wylosowano dwie białe kule

\(P(A)=P(A|H_1)\cdot P(H_1)+P(A|H_2)\cdot P(H_2)\\
P(A)=\frac{{3\choose 2}}{{7\choose 2}}\cdot \frac{1}{2}+\frac{{3\choose 2}}{{5\choose 2}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{31}{140}\\
P(B)=P(B|H_1)\cdot P(H_1)+P(B|H_2)\cdot P(H_2)\\
P(B)=\frac{{4\choose 2}}{{7\choose 2}}\cdot \frac{1}{2}+\frac{{2\choose 2}}{{5\choose 2}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{27}{140}\\
P(A)>P(B)\)

[Galen]

11)
Prawdopodobieństwo losowania z pierwszej urny
\(p_1= \frac{1}{2}\)
z drugiej urny
\(p_2= \frac{1}{2}\)
W pierwszej jest 7 kul w tym 3c i 4b
w drugiej jest 5 kul w tym 3c i 2b.
Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch czarnych:
\(P(C)= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}=\\= \frac{1}{14}+ \frac{3}{20}\approx 0,221\)
Dwóch białych:
\(P(B)= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6}+ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}=\\
= \frac{27}{140}\approx 0,193\)
\(P(C)>P(B)\)
Korzystasz z prawdopodobieństwa całkowitego.

[radagast]

9. Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 2. Punkt P jest środkiem krawędzi BC.
Płaszczyzna AHP przecina krawędź CG w punkcie R (zobacz rysunek). Oblicz pole przekroju
tego sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez punkty A, H, R i P.

Twój obrazek nie czytelny, wstawię sobie swój:

ScreenHunter_511.jpg (13.25 KiB) Przejrzano 7536 razy

1) policzmy cosinus kąta \(\alpha\)

W tym celu policzmy \(|AP|= \sqrt{2^2+1^2}= \sqrt{5}\)

ScreenHunter_512.jpg (5.4 KiB) Przejrzano 7536 razy

\(P_{ \Delta APD}= \frac{|AD||AB|}{2}= \frac{2 \cdot 2}{2}=2=\frac{|AP||QD|}{2}= \frac{|QD| \sqrt{5} }{2} \So |QD|= \frac{4 \sqrt{5} }{5}\)

ScreenHunter_514.jpg (3.89 KiB) Przejrzano 7536 razy

No to \(|QH|= \sqrt{2^2+ \left(\frac{4 \sqrt{5} }{5} \right) ^2} = \frac{6 \sqrt{5} }{5}\)
zatem \(cos \alpha = \frac{|QD|}{|QH|} =\frac{\frac{4 \sqrt{5} }{5}}{\frac{6 \sqrt{5} }{5}} = \frac{2}{3}\)
2) policzmy teraz pole przekroju:
\(P_{APCD}= P_{APRH} \cdot cos \alpha \So P_{APRH}= \frac{3}{2} P_{APCD}=\frac{3}{2} \cdot 3= 4,5\)

[robbo]

Rozwiązania:
http://www.zadania.info/d1654