Prosta k o równaniu mającym postać y=ax+b, gdzie a<0, przechodząca przez punkt S(-3,-4)odcina na ujemnych półosiach układu współrzędnych odcinki, których suma długości jest najmniejsza z możliwych wyznacz równanie prostej k oraz tę najmniejszą sumę długości odcinków.
Wydaje sie być proste, ale mi jakieś pierwiastki wychodzą i nie wiem gdzie popełniam błąd. Wyliczyłam sobie przecięcie z osiami z OX \(\frac{4-3a}{a}\) i z OY 3a-4 i dodałam je, przy każdym zmieniając znak, i zrobiłam pochodną
prosta i punkt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(y=ax+b\\-4=-3a+b\\b=3a-4\)
\(ax+3a-4=0\\x=\frac{4-3a}{a}\)
\(s_1=|\frac{4-3a}{a}|=\frac{3a-4}{a}\)
\(s_2=|3a-4|=4-3a\)
\(s=s_1+s_2=\frac{3a-4}{a}+4-3a=3-\frac{4}{a}+4-3a\)
\(s(a)=-3a+7-\frac{4}{a}\\a<0\\s'(a)=-3+\frac{4}{a^2}\\s'=0\\\frac{4}{a^2}=3\\a^2=\frac{4}{3}=\frac{12}{9}\\a=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \vee\ a=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
\(a=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\\b=-2\sqrt{3}-4\)
Równanie prostej:
\(y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-2\sqrt{3}-4\)
\(s_1=\frac{-2\sqrt{3}-4}{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{6\sqrt{3}-12}{2\sqrt{3}}=3-2\sqrt{3}\\s_2=4+2\sqrt{3}\\s=3-2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}\\s=7\)
\(ax+3a-4=0\\x=\frac{4-3a}{a}\)
\(s_1=|\frac{4-3a}{a}|=\frac{3a-4}{a}\)
\(s_2=|3a-4|=4-3a\)
\(s=s_1+s_2=\frac{3a-4}{a}+4-3a=3-\frac{4}{a}+4-3a\)
\(s(a)=-3a+7-\frac{4}{a}\\a<0\\s'(a)=-3+\frac{4}{a^2}\\s'=0\\\frac{4}{a^2}=3\\a^2=\frac{4}{3}=\frac{12}{9}\\a=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \vee\ a=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
\(a=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\\b=-2\sqrt{3}-4\)
Równanie prostej:
\(y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-2\sqrt{3}-4\)
\(s_1=\frac{-2\sqrt{3}-4}{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{6\sqrt{3}-12}{2\sqrt{3}}=3-2\sqrt{3}\\s_2=4+2\sqrt{3}\\s=3-2\sqrt{3}+4+2\sqrt{3}\\s=7\)