Zadania maturalne - bryły

[dimitri18]

1. Wysokosc prostopadłoscianu jest o 2 dłuższa od jednej krawędzi podstawy i o 2 krótsza od drugiej krawędzi podstawy . Objętość graniastosłupa jest o 24 mniejsza od objetości sześcianu, którego krawędź jest równa wysokości prostopadłościanu. Oblicz długość krawędzi podstawy tego prostopadłościanu.

7. Obwód przekroju osiowego stożka jest równy 30, a promień podstawy jest o 5 mniejszy od tworzacej stożka. Wówczas:
A. tworzaca stożka jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha =30^\circ\\)
B. tworzaca stożka jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) , takim, że \(sin \alpha = \frac{1}{5}\).
C. tworzaca stożka jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) , takim, że \(cos \alpha = \frac{1}{5}\)
D. tworzaca stożka jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha =60^\circ\\).

[kas1]

1
x -jedna krawędź prostopadłościanu( krótsza)
y-druga krawędź prostopadłościanu (dłuższa)
H o 2 dłuższa od jednej krawędzi podstawy czyli x+2
i o 2 krótsza od drugiej krawędzi podstawy y-2
z tego mamy równanie x+2=y-2 wyliczając x mamy x=y-4
Vp prostopadłościanu y*x*h zamiast x wstawiamy y-4 a zamiast h y-2 (o 2 krótsza od drugiej krawędzi)
czyli Vp=y*(y-2)*(y-4)
Vsz to h3=(y-2)3
Układamy równanie Vp jest o 24 mniejsza od Vsz
y*(y-2)*(y-4)= (y-2)3-24
y*(y-2)*(y-4)- (y-2)3=-24
wyciągamy przed nawias (y-2)
(y-2)[y(y-4) – (y-2)2]= -24
(y-2)[y2-4y – y2+4y-4]= -24
-4(y-2)=-24
(y-2)=6
y=8 a x=4 a h=6

[anka]

7. Obwód przekroju osiowego stożka jest równy 30, a promień podstawy jest o 5 mniejszy od tworzacej stożka. Wówczas:
A. tworzaca stożka jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha =30^\circ\\)
B. tworzaca stożka jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) , takim, że \(sin \alpha = \frac{1}{5}\).
C. tworzaca stożka jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) , takim, że \(cos \alpha = \frac{1}{5}\)
D. tworzaca stożka jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha =60^\circ\\).

\(r=l-5\) - promień podstawy
\(l\) - tworząca

Obliczam \(l\)
\(2r+2l=30 \Rightarrow r+l=15 \Rightarrow l-5+l=15 \Rightarrow 2l=20 \Rightarrow l=10\)
Obliczam \(r\)
\(r=l-5\)
\(r=10-5\)
\(r=5\)

Przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym, więc \(\alpha=60^o\)

D.