Forum serwisu

Alternatywnie bez nierówności pomiędzy średnimi Oznaczny W(x,y)= x^3+y^3-6xy+8 Zauważamy ,że ( z pomocą narzędziowych liczydełek) W( x, -x-2)=0 Czyli po podzieleniu jest W(x,y)=(y + x+2) ( x^2-xy-2x+y^2-2y+4) Zwijamy jak trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej W(x,y)= (y+x+2) ( (x - \frac{y+2}{2}...

Alternatywnie też i tak przyjmuję , t=x+\frac{1}{x} wtedy x^2+\frac{1}{x^2} =t^2-2 x^4-x^3+x^2-x+1= x^2( x^2-x+1-\frac{1}{x} +\frac{1}{x^2} )=\\ \qquad=x^2(t^2-2+1-t)=x^2( t^2-t-1)=x^2( t- \frac{\sqrt{5} +1}{2})(t- \frac{1-\sqrt{5}}{2} ) wracając do zmiennej x jest x^4-x^3+x^2-x+1= x^2( t- \frac{\sq...

Do kompletu : mamy równanie elipsy x^2+ 4y^2=16 weźmy powinowactwo względem osi OX \begin{cases} y_1 =2y\\ x_1 =x \end{cases} wtedy obrazem elipsy z zadania jest okrąg : x_1^2 +y_1^2=16 Weźmy rodzinę prostych siecznych y=a \cdot x +b , a= \frac{ \sqrt{3} }{3} Wtedy obrazem tej rodziny jest y_1=2a \c...

W pytaniu założyłem ,że \( W(x,y) \) nie jest symetryczny .

Jeśli nie widać jak pozwijać do zupełnych kwadratów to można też iść drogą przez postać kanoniczną funkcji kwadratowej W(x,y)=x^2+y^2-xy+x+y+1 Ponieważ wielomian powyższy jest symetryczny W(x,y]=W(y,x) wybór zmiennej do funkcji kwadratowej z parametrem jest bez znaczenia . f(x)= x^2 +x(1-y) +y^2+y+1...

a>0 , b>0 , a^n=a+1 ( obie strony są dodatnie czyli mogę spokojnie podnieść do kwadratu ) 1) a^{2n } =(a+1)^2 2) b^{2n} -b +a =4a 3 ) b^{2n} -b+a =4a < (a+1)^2 =a^{2n} ( a=1 daje sprzeczność ) 4) b^{2n} -b+a < a^{2n} 5) 0 < (a^n -b^n)(a^n+b^n ) +(a-b) 6) 0 < (a-b)( 1 + (a^n +b^n)W(a,b) ) , wielomia...

Względnie można iść w dłużyznę : F -- spodek wysokości ostrosłupa , [SF|=h Oznaczmy : |AS|=a , |BS|=b , |CS|=c , |DS|=d , |FA|= a_1 , |FB|= b_1 , |FC|= c_1 , |FD|=d_1 Oraz , będzie potrzeba przejść do języka analitycznego na płaszczyźnie podstawy ostrosłupa : A=( a_2, a_3) , B=(a_2,-a_3) ,C=(-a_2,-a...

romb ma bok a=5 \ i wysokość h = \frac{5 \sqrt{3} }{2} ( krótsza przekątna rombu ma też długość a=5 ) Jak obrócimy ten romb dookoła prostej zawierającej jeden z boków o kat 360^ \circ to dostaniemy gdy uzupełnimy jednym z powstałych stożków jego brak po drugiej stronie ---- walec o parametrach R=\fr...

P( | X -EX| \le k ) =0.6826 , \ X \sim N(20,5) P( -k \le X-20 \le k ) =0.6826 P ( \frac{-k}{5} \le \frac{X-20}{5} \le \frac{k}{5} ) =0.6826 , \ Y= \frac{X-20}{5} \sim N(0,1) P ( \frac{-k}{5} \le \frac{X-20}{5} \le \frac{k}{5} ) = 2 \cdot \Phi ( \frac{k}{5} ) =0.6826 \Phi ( \frac{k}{5} ) =0.13652 (o...

Można to zrobić na siłę Policz cztery boki ( dostajesz ,że jest rombem) Znajdź współrzędne środków przekątnych KL , MN ( w podstawie programowej kl 8 jest) Jeśli to ten sam punkt to zastosuj cztery razy Pitagorasa odwrotnego( nie wiem czy jest w pp) do powstałych czterech trójkątów. Stwierdź ,że są ...

Można krócej Stosując się do oznaczeń radagast pole trapezu P= d \cdot 2r czyli P(d)= 2r \cdot d Ponieważ r jest ustalone ,to wystarczy okiełznać d . Ponieważ , d^2 = 4r^2 + ( \frac{a-b}{2} )^2 ,to d \ge 2r i minimum pola jest osiągane gdy d=2r \ i \ \frac{a-b}{2} =0 czyli \ a=b= d . ..................

x \ promień szukanego okręgu (R+x)^2 = (R-x)^2 +d_1^2 , \ d_1= \sqrt{4Rx} (r+x)^2 = (r-x)^2 +d_2^2 , \ d_2= \sqrt{4rx} (R+r)^2 =(R-r)^2 +(d_1+d_2)^2 , \ d_1 +d_2= \sqrt{4Rr} ............................................................................................... d_1+d_2 = \sqrt{4Rx} + \sqrt{...

Można trochę skrócić rachunki Korzystam z charakteryzacji równoległoboku : czworokąt jest równoległobokiem \iff gdy ma środek symetrii Pokazujemy ,że ( odwołuję się do obrazka panb , choć nie jest to konieczne ) ,że odcinki AC , BD mają te same środki ( wtedy jest to środek symetrii czworokąta ABCD ...

\(\Lim_{n\to \infty } b_{n} =\frac{1}{2}\) \(\\) , \(\Lim_{n\to \infty } c_{n} =-\frac{1}{2}\) \(\\) czyli \(\\)\(a_n\) nie jest zbieżny
\(a_1 \le a_n \le a_2\)

Drugie oszacowanie
Jeżeli są długościami boków trójkąta to
\(a<b+c\) \(\\) stąd \(\\) \(a^2<ab+ac\)
\(b<a+c\) \(\\) stąd \(\\) \(b^2<ab+bc\)
\(c<b+a\) \(\\) stąd \(\\) \(c^2<cb+ac\)
stąd
\(a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)\)
stąd
\((a+b+c)^2< 4(ab+bc+ca)\)
\(a+b+c< 6 \sqrt{3}\)