Forum serwisu

F(x,y)=x^2-2xy+5y^2-2x+4y+1=0\\ y'(x)=-\dfrac{F_x}{F_y}=-\dfrac{2x-2y-2}{-2x+10y+4}=\dfrac{y-x+1}{5y-x+2}=0\quad\Leftrightarrow\quad y=x-1\\ y''(x)=-\dfrac{F_{xx}}{F_y}=-\dfrac{1}{5y-x+2}\\ F(x,x-1)=x^2-2x(x-1)+5(x-1)^2-2x+4(x-1)+1=\\ =4x^2-6x+2=0\quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{1}{2},\quad x_2=1\\ ...

g(x)=\frac{\ln x}{x}\\ g'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\Rightarrow\text{maksimum w }x=e\\ g(e)=\frac{1}{e}\\ \left(1+\frac{\ln n}{n^2}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}\left(\frac{\ln n}{n^2}\right)^k\le \sum\limits_{k=0}^nn^k\left(\frac{\ln n}{n^2}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{\ln n}{n}...

Liczby a,b,c możemy traktować jako współrzędne punktu w sześcianie [0,1]\times[0,1]\times[0,1] . Szukane prawdopodobieństwo będzie równe objętości części sześcianu, gdzie nierówność jest spełniona. \mathbb{max}\{a,b,c\} − \mathbb{min}\{a,b,c\} \le\frac{2}{3}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases}|a-b...

\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln(\sin x)\ln(\cos x)}{\tg x}\,dx=\frac{1}{8}\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\ln(\sin^2x)\ln(\cos^2x)}{\sin^2x}\cdot 2\sin x\cos x\,dx=\begin{Bmatrix}t=\sin^2x\\dt=2\sin x\cos x\,dx\end{Bmatrix}=\frac{1}{8}\int\limits_0^1\frac{\ln t\ln(1-t)}{t}\,dt=\\ =-\frac{...

\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}\cos^2\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\cos^2\frac{1}{n}=1\cdot\cos^20=1\\ \sum\frac{1}{n}\text{ rozbieżny, więc również }\sum\sin\frac{1}{n}\cos^2\frac{1}{n}...

x-y+t=2x+y+z=x+y+2t\\ \begin{cases}x-y+t=x+y+2t\\2x+y+z=x+y+2t\\\end{cases}\\ \begin{cases}y=-\frac{1}{2}t\\x=2t-z\\\end{cases}\\ (x,y,z,t)=\left(2t-z,-\frac{1}{2}t,z,t\right)=z\left(-1,0,1,0\right)+t\left(2,-\frac{1}{2},0,1\right)\\ V=\mathrm{lin}\left\{\left(-1,0,1,0\right),\left(2,-\frac{1}{2},0...

\(x=w-u\\
y=\frac{1}{2}(v-u)\\
xy=\frac{1}{2}(w-u)(v-u)=\frac{1}{2}(wv-wu-uv+uu)=\frac{1}{2}(0-0-0+1)\ne 0\)

Nie są.

Chyba brakuje jakiejś danej.

To suma wektorowa sił, z jakimi jedną gwiazdę przyciągają pozostałe dwie.

Albo prościej: x\frac{\partial U}{\partial x}=U^3\\ \frac{\partial U}{U^3\partial x}=\frac{1}{x}\\ \int\frac{dU}{U^3}=\int\frac{dx}{x}\\ -\frac{1}{2U^2}=\ln|x|+C(y)\\ U(x,y)=\pm\frac{1}{\sqrt{C(y)-2\ln|x|}}\\ U(x,x)=\pm\frac{1}{\sqrt{C(x)-2\ln|x|}}=\arcsin x\\ C(x)=\frac{1}{\arcsin^2x}+2\ln|x|\\ U(x...

Niech jeden kąt ostry ma miarę 2\alpha , wtedy: c=r\ctg\alpha+r\ctg(45^o-\alpha)=r\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\cos(45^o-\alpha)}{\sin(45^o-\alpha)}\right)=r\cdot\frac{\sin(45^o-\alpha)\cos\alpha+\sin\alpha\cos(45^o-\alpha)}{\sin\alpha\sin(45^o-\alpha)}=r\cdot\frac{2\sin 45^o}{\cos(2\al...

xU_x=U^3\\ U(x,x)=\arcsin x\\ \begin{cases} \frac{dx}{dt}=x\\ \frac{dy}{dt}=0\\ \frac{dU}{dt}=U^3\\ x(0,s)=s\\ y(0,s)=s\\ U(0,s)=\arcsin s\\ \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} x=C_1e^t\\ y=C_2\\ U=\pm\frac{1}{\sqrt{C_3-2t}}\\ x(0,s)=C_1=s\\ y(0,s)=C_2=s\\ U(0,s)=\pm\frac{1}{\sqrt{C_3}}...