Forum serwisu

Wystarczy zbadać, kiedy \(\sqrt{y-1}\) istnieje lub nie
\(a)\ y(t_0)>1\Rightarrow y(t)=(\frac{t}{2}+C)^2+1
b)\ y(t_0)<1
c)\ y(t_0)=1\Rightarrow y(t)=(\frac{t}{2}+C)^2+1\ \vee\ y(t)=1\)

1. a) Funkcja jest injekcją, czyli jest różnowartościowa, a\ne b \Rightarrow f(a)\ne f(b) . Jeśli funkcja jest ciągła, to w przedziale [a,b] przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między f(a) i f(b) . Weźmy dowolne punkty b>a>x . Mamy wtedy f(b)>f(a) lub f(b)<f(a) . Rozpatrzmy pierwszy przypadek. je...

Rozumiem, że chodzi o moc na jednostkę powierzchni
\(P/S=\frac{P}{4\pi r^2}=\frac{1}{4\pi 2^2}=\frac{1}{16\pi}\simeq 20\ \frac{mW}{m^2}\)

Jeśli nierówność jest prawdziwa dla n=3, to można w taki sposób jak podałem udowodnić, że jest też dla n=4, potem, że dla n=5 itd. Można to ciągnąć do dowolnego n w nieskończoność. Nie trzeba się powoływać na indukcję.

4. Prosta równoległa do prostej \(Ax+By+C=0\) ma równanie \(Ax+By+D=0\)
\(k:\ 0,7x-0,4y+14=0
l:\ 0,7x-0,4y+m=0\)
\(l\) przechodzi przez punkt \(P(5, -4)\), czyli
\(0,7\cdot 5-0,4\cdot (-4)+m=0\Rightarrow m=-5,1
l:\ 0,7x-0,4y-5,1=0\)

5. Proste \(Ax+By+c=0\) i \(ax+by+c=0\) są prostopadłe, gdy \(Aa+Bb=0\)
\(k:\ 8x +3y-9=0
l:\ -3x+8y+m=0\)

punkt przecięcia na osi OY
\(x=0\Rightarrow k:\ 8\cdot 0+3y-9=0\Rightarrow y=3
l:\ -3\cdot 0+8\cdot 3 +m=0\Rightarrow m=-24\Rightarrow l:\ -3x+8y-24=0\)

\lim_{x\to\infty}\frac{x\sqrt[3]{x+12}}{x\sqrt[3]{x+5}+x^2\sqrt[5]{x^2+7}}=\lim_{x\to\infty}\frac{xx^{\frac{1}{3}}\sqrt[3]{1+\frac{12}{x}}}{xx^{\frac{1}{3}}\sqrt[3]{1+\frac{5}{x}}+x^2x^{\frac{2}{5}}\sqrt[5]{1+\frac{7}{x^2}}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{\frac{4}{3}}\sqrt[3]{1+\frac{12}{x}}}{x^{\frac{4...

Metoda indukcji matematycznej a^2+b^2=c^2\Rightarrow c>a\ \wedge\ c>b Załóżmy, że b\ge a c^3=c^2\cdot c=ca^2+cb^2>ba^2+bb^2\ge aa^2+bb^2=a^3+b^3\Rightarrow c^3>a^3+b^3 czyli udowodniliśmy nierówność dla n=3 . Założmy, że dla n>3\ c^n>a^n+b^n c^{n+1}=c^n\cdot c>ca^n+cb^n>ba^n+bb^n\ge aa^n+bb^n=a^{n+1...

Można też skorzystać z tego, że przekątne są równe, a oba trójkąty są podobne. Jeśli na rysunku punkt przecięcia przekątnych oznaczymy jako P, to wtedy \frac{|AP|}{|CP|}=\frac{|BP|}{|DP|} 1+\frac{|AP|}{|CP|}=1+\frac{|BP|}{|DP|} \frac{|AP|+|CP|}{|CP|}=\frac{|BP|+|DP|}{|DP|} \frac{|DP|}{|CP|}=\frac{|B...

Jeśli jedna prosta ma równanie\(Ax+By+C=0\),a druga \(ax+by+c=0\), to są prostopadłe wtedy, gdy \(Aa+Bb=0\), czyli przypadek A

Przekątne utworzą dwa trójkąty równoramienne prostokątne o podstawach a i b. Kąty przy ich podstawach wynoszą \(45^o\), czyli wysokość \(h_a=\frac{a}{2} tg45^o=\frac{a}{2},\ h_b=\frac{b}{2} tg45^o=\frac{b}{2},\ h=h_a+h_b=\frac{1}{2}(a+b)\)

Skoro leci ze stałą prędkością, jego przyspieszenie wynosi zero. Działąjąca siła musi być również zerowa,czyli opór powietrza równoważy ciąg silników, więc siła oporu to 100 000 N.